Linier Progamming

A. Pengertian Linier Progamming

Secara umum Linear Programming ialah salah satu teknik dari Riset Operasi untuk memecahkan persoalan optimasi (maksimasi atau minimasi) dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan linear dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada. Dalam keadaan sumber yang terbatas harus dicapai suatu hasil yang optimum dengan perkataan lain bagaimana caranya agar dengan masukan input yang terbatas dapat menghasilkan keluaran output berupa produksi barang atau jasa yang optimum. Salah satu metoda analisis dalam teknik operasional riset untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber terbatas adalah menggunakan metoda program linear. Linear programming akan memberikan banyak sekali hasil pemecahan persoalan, sebagai alternatif pengambilan tindakan, akan tetapi hanya ada satu yang optimum (maksimum atau minimum). Memilih keputusan berarti memilh alternatif, tapi yang terpenting adalah pengambilan alternatif terbaik( the best alternative), Johannes Suprapto (1987).

Menurut Hari Purnomo(2004) Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia, kemudian menerjemahkan masalah tersebut dalam bentuk model matematika. Sifat linear mempunyai arti bahwa seluruh fungsi dalam model ini merupakan fungsi yang linear.

Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal sebagai berikut :

1. Tujuan (objective)

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positip, manfaat-manfaat, atau dampak negatip, kerugian-kerugian, resiko-resiko, biaya-biaya, jarak, waktu yang ingin diminimumkan.

2. Alternatif perbandingan

Harus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya.

3. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linier inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai fungsi kendala atau syarat ikatan.

4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika.

5. Keterikatan Perubah

Perubah-perubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.

B. Perumusan Model Persoalan Program Linier

Pada dasarnya secara umum, persoalan program linier dapat dirumuskan dalam suatu model dasar/model baku/model matematika sebagai berikut :

Menentukan nilai dari X1, X2, X3, ....., Xn sedemikian rupa sehingga :

                                                                                                n

Z = C1 X1 + C2 X2 + .... +Cj Xj +....+Cn Xn =Cj Xj (Optimal[maksimum/minimum])

j=1

Yang kemudian disebut sebagai Fungsi Tujuan (Objective Function)

dengan pembatasan (Funsi Kendala/Syarat Ikatan) :

Keterangan :

Ada n macam barang yang akan diproduksi masing-masing sebanyak X1, X2, ...,Xn unit.

Xj = Variabel pengambilan keputusan atau kegiatan yang ingin dicari (misalnya banyaknya produksi barang yang ke-j, dimana j = 1, 2, ...,n ).

Cj = Parameter yang dijadikan kriteria optimasi atau koefisien variabel pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan (misalnya harga per satuan barang ke-j).

bi = Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang bersangkutan disebut juga konstanta atau “nilai sebelah kanan (nsk)” dari kendala ke-i (misalnya banyaknya bahan mentah ke-i, i= 1, 2, .., m). Ada m macam bahan mentah, yang masing-masing tersedia b1, b2,...., bm.

aij = Koefisien teknologi variabel pengambilan keputusan (kegiatan yang bersangkutan) dalam kendala ke-i (misalnya banyaknya bahan mentah ke-i yang digunakan untuk memproduksi 1 satuan barang ke-j).

C. Pendekatan Linear Programming dalam Optimasi Usahatani

Produksi pertanian dan perikanan sangat dipengaruhi oleh sifat biologis, iklim, kondisi dan ketersediaan sumberdaya pertanian dan perikanan yang sangat terbatas. Untuk meningkatkan produksi dan pendapatan petani harus dilakukan pengelolaan usahatani secara efisien atau berdasarkan azas optimalisasi alokasi sumberdaya. Seperti yang dikemukakan Soekartawi, dkk. (1986), bahwa produksi yang tinggi merupakan salah satu tujuan usaha tetapi belum tentu usaha tersebut efisien. Prinsip dari pengusaha selalu berusaha agar hasil yang diperoleh dari pengelolaannya lebih produktif dan efisien. Usaha yang produktif adalah usaha yang secara ekonomis menguntungkan dalam penggunaan biaya untuk berproduksi, sedangkan efisien berarti dalam suatu usaha mempunyai perbandingan antara penerimaan dan biaya produksi lebih besar dari satu.

Dalam kegiatan usahatani sebagai salah satu bentuk unit produksi, selalu ada upaya untuk memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya dalam keterbatasan sumberdaya yang ada/dimiliki. Untuk itu perlu dirumuskan perencanaan usahatani dengan mengkombinasikan berbagai input dalam berbagai karakter keterbatasan untuk memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Perumusan ini dapat dilakukan melalui pendekatan teknik Linear Programming (Soekartawi, 1992).

Linear Programming (LP) adalah suatu metoda programasi yang variabelnya disusun dengan persamaan linier (Soekartawi, 1992). Lebih lanjut dikatakan bahwa kegunaan program linier untuk penelitian usahatani kadang-kadang terbatas karena asumsi-asumsi yang digunakan. Asumsi linier dapat menghitung pendapatan kotor dan kebutuhan pemakaian sumberdaya untuk perencanaan tertentu, yang berarti bahwa setiap kegiatan berlaku asumsi kenaikan hasil yang tetap. Asumsi ini tidak selamanya benar, karena itu disajikan sebagai beberapa segmen yang linier bersambungan.

Menurut Arga (1999) program linier adalah suatu metode matematik yang bertujuan memaksimumkan satu atau beberapa fungsi tujuan yang linier di bawah beberapa kendala yang linier pula. Teknik linear programming dapat digunakan dalam dua cara, yaitu: (1) meminimumkan biaya dalam rangka tetap mendapatkan total penerimaan atau total keuntungan sebesar mungkin (program minimisasi atau minimumkan); dan (2) memaksimumkan total penerimaan atau total keuntungan pada kendala sumberdaya yang terbatas (program memaksimumkan atau maksimasi).

Nasendi dan Anwar (1985) menyatakan untuk dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka harus memenuhi lima syarat sebagai berikut:

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan-keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimumkan, atau dampak negatif, kerugian-kerugian, resiko-resiko, biaya-biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan.

2. Alternatif perbandingan (proporsionalitas)

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau antara alternatif padat modal dengan padat karya, atau antara kebijakan A dengan kebijakan B, atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah.

3. Sumberdaya

Sumberdaya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan luas tanah, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumberdaya tersebut dinamakan sebagai kendala.

4. Perumusan kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.

5. Keterkaitan peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdepedensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya.

Lebih lanjut Nasendi dan Anwar (1985) mengatakan bahwa salah satu ciri khas model programasi linier adalah model yang didukung oleh lima macam asumsi yang menjadi tulang punggung model ini. Asumsi-asumsi tersebut adalah:

1.    Linearitas. Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input yang lainnya, atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan terlepas (tidak tergantung) pada tingkat produksi.

2.    Proporsionalitas. Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambil keputusan berubah maka dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan dan juga pada kendalanya.

3.    Addivitas. Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai individu-individu dalam model programasi linier.

4.    Divisibilitas. Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambil keputusan, jika diperlukan dapat dibagi kedalam pecahan-pecahan.

5.    Deterministik. Asumsi ini menghendaki agar semua parameter dalam model programasi linier tetap dan diketahui atau ditentukan secara pasti.

Model dasar atau model baku programasi linier menurut Nasendi dan Anwar (1985) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Fungsi tujuan: optimumkan (maksimumkan atau minimumkan)

Dimana:

Cj = Parameter yang dijadikan kriteria optimasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan

Xj = Peubah pengambil keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari: yang tidak diketahui)

aij = Koefisien teknologi peubah pengambil keputusan (kegiatan yang bersangkutan) dalam kendala ke-i yang diperlukan untuk memproduksi satu satuan Xj

bi = Sumberdaya yang terbatas, yang membatasi usaha atau kegiatan yang bersangkutan; disebut juga konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i

Z = Nilai scalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.

Lebih jauh Nasendi dan Anwar (1985) mengatakan rumusan model programasi linier tersebut terlihat bahwa ada tiga unsur penting yang dipenuhi oleh persoalan programasi linier untuk dapat dirumuskan secara matematis, yaitu:

1. Suatu fungsi tujuan,

2. Berbagai kendala fungsional, dan

3. Kendala tidak boleh negatif (atau syarat ikatan non negatif).

Dari berbagai uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa penggunaan model linear programming adalah mengoptimalkan alokasi sumberdaya yang terbatas sehingga diperoleh pendapatan maksimum, atau meminimumkan biaya dalam upaya tetap mendapatkan total penerimaan atau total keuntungan sebesar mungkin.

D. Kelebihan dan Kekurangan Linear Programming

Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman, Linear Programming mempunyai beberapa kelebihan dan kekurangan.

v  Kelebihan-kelebihan dari Linear Programming yaitu:

1.    Mudah digunakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer.

2.    Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumber daya yang optimal dapat dicapai.

3.    Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.

v  Kekurangan-kekurangan dari Linear Programming yaitu:

1.    Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka Linear Programming dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi.

2.     Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.

E. Pembuatan Model

Untuk menyelesaikan suatu masalah dapat digunakan model Linear Programming. Adapun langkah-langkah pemodelannya adalah sebagai berikut:

1. Menentukan variabel-variabel dari persoalan, misalnya X1, X2 dan seterusnya.

2. Menentukan batasan-batasan yang harus dikenakan untuk memenuhi batasan sistem yang dimodelkan.

Keterangan:

m  = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n   = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut

i    = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia

j    = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia

Xj  = kegiatan ke-j (variabel keputusan)

Ai j = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j

3. Menentukan tujuan (maksimasi atau minimasi) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut:

Z = C1X1 + C2X2 + …. + CnXn … (2 – 2)

Keterangan:

Z = nilai yang dioptimalkan

Cn = sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan n terhadap nilai Z

Xn = kegiatan ke-n (variabel keputusan)

F. Bentuk Baku Formulasi Linear Programming

Terdapat 4 buah karakter yang menjadi sifat dari Linear Programming, yaitu sebagai berikut:

1. Semua pembatas berupa persamaan

2. Elemen ruas kanan dari persamaan adalah non-negatif

3. Semua variabel adalah non-negatif

4. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi.

DAFTAR PUSTAKA

Yusup. 2007. Program Linier. UI Press. Jakarta.